Sierpiński 的初等数论问题

波兰数学家 Wacław Sierpiński 对数论有很多研究。在他一生出版的 50 多本书里， 250 Problems of Elementary Number Theory 一书显得格外有趣。这里面不但有各种出人意料的数学事实，还有很多精妙的证明和大胆的构造，让人大呼过瘾。我从中选择了一些问题，在这里和大家一块儿分享。下面的文字没有完全照搬书中的内容，而是做了大量的改动和扩展；若有出错的地方，还请大家指正。个别题目会涉及一些初等数论中的著名定理，它们都可以在里找到。

找出所有的正整数 n ，使得 n² + 1 能被 n + 1 整除。

满足要求的解只有一个： n = 1 。原因很简单：如果 n² + 1 = n(n + 1) – (n – 1) 是 n + 1 的整倍数，那么 n – 1 也必须是 n + 1 的整倍数，这只有一种可能性，即 n – 1 = 0 。

证明：对于任意大于 6 的偶数 n ，我们都能找到两个质数 p 和 q ，使得 n – p 和 n – q 互质。

不管 n 是多少，令 p = 3, q = 5 即可。这样一来， n – p 和 n – q 就是两个相邻的奇数，它们必然互质。

找出所有公差为 100 的等差数列，使得里面的所有项都是质数。

满足要求的等差数列不存在。这是因为，在 p, p + 100, p + 200 这三个数当中，至少有一个数能被 3 整除，因而 p 只能等于 3 。此时， p + 200 = 3 + 200 = 203 = 7 × 29 ，这就说明满足要求的等差数列不存在。

找出所有这样的质数，它既能表示成两个质数之和，也能表示成两个质数之差。

满足要求的数只有 5 ，它可以表示成 3 + 2 和 7 – 2 。下面我们证明，这个问题没有别的解了。如果质数 r 能表示成两个质数之和，那么显然 r > 2 ，因而 r 只能是奇数。两个质数之和是一个奇数，则其中一个质数一定是 2 ；两个质数之差是一个奇数，则其中一个质数也一定是 2 。因此， r 只有可能被表示成 p + 2 和 q – 2 ，其中 p 和 q 都是质数。这说明， p, r, q 是三个连续奇数。三个连续奇数当中，必然有一个能被 3 整除。如果它们都是质数，那么一定有一个数就是 3 。因此， (p, r, q) = (3, 5, 7) 是唯一的可能。

33 = 3 × 11 ， 34 = 2 × 17 ， 35 = 5 × 7 。它们组成了三个连续的正整数，其中每个数都是两个不同的质数之积。是否存在四个连续的正整数，使得每个数都是两个不同的质数之积？

不存在。任意四个连续的正整数中，一定有一个能被 4 整除，它显然不是两个不同的质数之积。

证明：方程 xy + x + y = 2³² 存在正整数解。

原方程相当于 xy + x + y + 1 = 2³² + 1 ，即 (x + 1) · (y + 1) = 2²⁵ + 1 ，而后者是 n = 5 时的 Fermat 数，众所周知，它是能被分解成两个大于 1 的整数之积的。

证明：方程 x² + y² + 1 = z² 有无穷多组正整数解。

对于任意正整数 n ， (2n)² + (2n²)² + 1 = (2n² + 1)² 都成立。

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