实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

2015-08-01 18:35:44 暂无评论鞭辟入里应用数学 9,145

（一）一个博弈游戏

让我们来玩一个游戏。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子，并且规定如果一个石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了，谁就输了。

○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●●○●●●
●

例如说，如果你先走的话，你可以把第四行的第三个石子拿走，按规定第四行将会只剩下前面两个石子：

○●●○●●○●●○
●○○●○●●○●
○○○○
●●
●

现在轮到我走了。我可以拿走第二行倒数第二个石子，于是整个棋局变成了这样：

○●●○●●○●●○
●○○●○●●
○○○○
●●
●

现在，假如说你拿走了第二行中的第一个石子（于是第二行就没了），那么我就赢定了。我可以拿走第一行中的第一个石子，从而让整个棋局只剩下后面三行：

○○○○
●●
●

这三行中有四个白石子，有三个黑石子，并且每一行都是同种石子。于是整个局面完全变成了一个拼石子个数的游戏，我只需要一个一个地拿走白色石子，你必然将会率先无路可走。受此启发，我们自然地想到了一种刻画棋局的方式：把每个白色石子记作 +1 ，把每个黑色石子记作 -1 。于是 ○○○○ + ●● + ● = 4 – 2 – 1 = 1 ，结果是一个正数，这就表明该局面下我将必胜，即使此时轮到我先走。

你会发现上面的说法很有道理。毕竟白色的石子越多，对我越有利，给我带来的效用为正；而黑色的石子会减小我获胜的希望，当然应该给它赋上一个负的值。四白三黑算出来的结果为正 1 ，直观意义就是我能以一步的优势获胜。如果棋局是这样：

○○
●●●●

那么 ○○ + ●●●● = 2 – 4 = -2 ，是一个负数，这就意味着不管谁先走，你都能必胜，因为你能比我多走两步。我们何不把一个棋局对应的数叫做棋局的“特征值”。特征值为正，就表明不管谁先走我都能必胜；特征值为负，就表明不管谁先走你都能必胜；而特征值的绝对值，则直观地量化了胜负的悬殊。现在，考虑下面这个棋局：