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应用数学

  • 高等数学符号读法必会

    高等数学符号读法必会

    1 Α α alpha a:lf 阿尔法 角度;系数 2 Β β beta bet 贝塔 磁通系数;角度;系数 3 Γ γ gamma ga:m 伽马 电导系数(小写) 4 Δ δ delta delt 德尔塔 变动;密度;屈光度 5 Ε ε epsilon ep`silon 伊普西龙 对数之基数 6 Ζ ζ zeta zat 截塔 系数;方位角;阻抗;相对粘度;原子序数 7 Η η eta eit 艾塔 磁滞系数;效率(小写) 8 Θ θ thet θit 西塔 温度;相位角 9 Ι ι iot aiot 约塔 微小,一点儿 10 Κ κ ...

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  • 差不多所有数都可以分解为若干个 3x · 4y 之和

    差不多所有数都可以分解为若干个 3x · 4y 之和

    下面这个题目来自 。假设集合 S 是由所有形如 3x · 4y 的数构成的,其中 x 和 y 都是非负整数。因而,集合 S 是一个无穷集合,其中最小的几个元素依次为 1, 3, 4, 9, 12, 16, 27, … 。若某个正整数 n 能表示成集合 S 中的一个或多个不重复的数之和,我们就说 n 是集合 S 的一个子集和。比如, 23 就是 S 的一个子集和,因为 23 可以表示成 3 + 4 + 16 。然而, 6 就不是 S 的一个子集和。 求证:除了有限多个正整数以外,其他所有的正整数都是集合 S 的子集和。 首先我们论证,若 n 是一个大于 9 的正整数,那么在集合 S 中一定存在 ...

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  • 趣题:四边形的最长三边之和一定大于两对角线长度之和吗?

    趣题:四边形的最长三边之和一定大于两对角线长度之和吗?

    众所周知,三角形当中的任意两边之和始终大于第三边。在四边形中,我们还有类似的结论吗? 2015 年 2 月的 谜题就是:证明或推翻,四边形的三条最长边之和始终大于两条对角线的长度之和。     这个结论是正确的。下面的证明是由 Daniel Bitin 给出的。 首先,让我们先来证明一个引理:若 △ABC 中, ∠C ≥ 90° ,则 AB + CH > AC + BC ,其中 CH 是 AB 边上的高。不妨先来考虑 ∠C = 90° 的情况。   由勾股定理可知: AB2 = AC2 + BC2 另外,由于这个三角形的面积有两种不同的计算方法,于是我们有 ...

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  • 实数、超实数和博弈游戏:数学的结构之美

    实数、超实数和博弈游戏:数学的结构之美

    (一)一个博弈游戏 让我们来玩一个游戏。下面有五行石子,白色的石子都是我的,黑色的石子都是你的。我们轮流拿走一个自己的石子,并且规定如果一个石子被拿走了,它后面的所有石子都要被扔掉。谁先没有拿的了,谁就输了。 ○●●○●●○●●○ ●○○●○●●○● ○○○○ ●●●○●●● ● 例如说,如果你先走的话,你可以把第四行的第三个石子拿走,按规定第四行将会只剩下前面两个石子: ○●●○●●○●●○ ●○○●○●●○● ○○○○ ●● ● 现在轮到我走了。我可以拿走第二行倒数第二个石子,于是整个棋局变成了这样: ○●●○●●○●●○ ●○○●○●● ○○○○ ●● ● 现在,假如说你拿走了第二行中 ...

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  • 整数分拆中的一个出人意料的结论

    整数分拆中的一个出人意料的结论

    把 6 分成一个或多个正整数之和,本质不同的方案只有以下 11 种: 分拆方案 含有多少种不同的数 6 1 5 + 1 2 4 + 2 2 4 + 1 + 1 2 3 + 3 1 3 + 2 + 1 3 3 + 1 + 1 + 1 2 2 + 2 + 2 1 2 + 2 + 1 + 1 2 2 + 1 + 1 + 1 + 1 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 其中,每一行右边的那个数表示,该分拆方案中含有多少种不同的数。把右列的所有数全部加起来,结果是 19 。神奇的是,如果你数一数所有分拆方案中 1 出现的总次数,你会发 ...

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  • 趣题:下一根枕木应该画在哪儿?

    趣题:下一根枕木应该画在哪儿?

    一位画家正在画画。画布上是一望无际的平原,一条笔直的铁路向无限远的地方延伸。画家画了铁路上的两根相邻的枕木,它们在画面上呈两条平行的线段,并且都与地平线平行。这时,画家突然犯难了:根据透视的原理,下一根枕木应该画在哪儿呢?你能帮他确定出下一根枕木的位置吗? 这里,我们假设陆地是一个无限大的平面,并且铁路上的相邻枕木之间的间距相等。           假设两根枕木分别是 AB 和 CD 。容易想到,如果地面上的两条直线交于地平线处,就说明这两条直线是平行的。另外,注意到相邻枕木之间构成了一个个全等的矩形,它们的对角线应该是平行的。于是,我们就 ...

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  • 趣题:无限多层嵌套的逻辑推理

    趣题:无限多层嵌套的逻辑推理

    大家一定见过很多“我不知道,我也不知道,我还是不知道,我还是不知道,我知道了,我也知道了”的问题。但是,我想大家一定没有见过下面这样的问题。 A 、 B 两人在主持人 C 的带领下玩一个游戏。 C 向两人宣布游戏规则:“一会儿我会随机产生两个不同的形如 n – 1/2k – 1/2k+r 的数,其中 n 、 k 是正整数, r 是非负整数。然后,我会把这两个数分别交给你们。你们每个人都只知道自己手中的数是多少,但不知道对方手中的数是多少。你们需要猜测,谁手中的数更大一些。”这里,我们假设所有人的逻辑推理能力都是无限强的,并且这一点本身也成为了共识。 C 按照规则随机产生了两个数,把它们交给了 ...

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  • 趣题:不等式背后的直观意义

    趣题:不等式背后的直观意义

    有时,为了说明某个式子始终成立,我们会为它构造一个情境。例如,为了说明 C(m, 0) · C(w, r) + C(m, 1) · C(w, r – 1) + … + C(m, r) · C(w, 0) = C(m + w, r) 始终成立,只需要注意到,等号的左边和右边计算的都是同一个东西:假如一个班上有 m 个男生 w 个女生,从中选出 r 个人有多少种方案。等号左边的计算方式是,分别计算 0 男 r 女、 1 男 r – 1 女、 2 男 r – 2 女等 r + 1 种情况的方案数,然后把它们加起来。等号右边则是直接算出了从这 m + w 个人中选出 r 个人的方案数。两种算法所得的答 ...

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  • Sierpiński 的初等数论问题

    Sierpiński 的初等数论问题

    波兰数学家 Wacław Sierpiński 对数论有很多研究。在他一生出版的 50 多本书里, 250 Problems of Elementary Number Theory 一书显得格外有趣。这里面不但有各种出人意料的数学事实,还有很多精妙的证明和大胆的构造,让人大呼过瘾。我从中选择了一些问题,在这里和大家一块儿分享。下面的文字没有完全照搬书中的内容,而是做了大量的改动和扩展;若有出错的地方,还请大家指正。个别题目会涉及一些初等数论中的著名定理,它们都可以在里找到。 找出所有的正整数 n ,使得 n2 + 1 能被 n + 1 整除。 满足要求的解只有一个: n = 1 。原因很简单 ...

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  • 趣题:正方形能被画成什么样?

    趣题:正方形能被画成什么样?

    房间的正中间悬浮着一个正方形的金属框。五位画家看到这般奇迹后,立即拿出纸和笔,把这个金属框的样子画了下来。但是,由于五位画家观察这个金属框的角度不同,它们画出来的结果也互不相同。请问,这五位画家画出来的结果都是对的吗?换句话说,有没有哪一幅图或者哪几幅图根本不可能是一个正方形的透视图? 首先,我们简单解释一下透视图背后的数学模型。假设人眼和实物之间有一个矩形的画布。将实物中的任意一点 X0 与人眼相连,都会与画布有一个交点 X ,那么在人眼看来,实物上的 X0 点和画布上的 X 点是完全重合的。我们就说,这个 X 点是 X0 点在画布上的像。把实物中的每一个点在画布上的像都描出来,我们就能得到 ...

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  • IMO2015 趣题:平衡的但无中心的点集

    IMO2015 趣题:平衡的但无中心的点集

    2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ,我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ,我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ,我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ,我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。 证明:对于所有大于等于 3 的正整数 n ,都存在一个由 n 个点构成的平衡点集。 对于哪些大于等于 3 的正整数 n ,存在由 n 个点构成的平衡的但无中心的点集?       & ...

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  • 数学应用-输入一个汉字需要敲多少个键 — 谈谈香农第一定律

    数学应用-输入一个汉字需要敲多少个键 — 谈谈香农第一定律

    发表者:Google(谷歌)研究员 吴军 今天各种汉字输入法已经很成熟了,随便挑出一种主要的输入法比十几年前最好 的输入法都要快、要准。现在抛开具体的输入法,从理论上分析一下,输入汉字 到底能有多快。 我 们假定常用的汉字在二级国标里面,一共有 6700 个作用的汉字。如果不考 虑汉字频率的分布,用键盘上的 26 个字母对汉字编码,两个字母的组合只能对 676 个汉字编码,对 6700 个汉字编码需要用三个字母的组合,即编码长度为三。 当然,聪明的读者马上发现了我们可以对常见的字用较短的编码对不常见的字用 较长的编码,这样平均起来每 个汉字的编码长度可以缩短。我们假定每一个汉 字的频率是 p ...

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