Sierpiński 的初等数论问题

证明：存在无穷多个正整数满足，它可以用至少两种不同的方法表示成四个正整数的平方和。

可以验证， (t – 8)² + (t – 1)² + (t + 1)² + (t + 8)² = (t – 7)² + (t – 4)² + (t + 4)² + (t + 7)² 恒成立，因而当 t > 8 时，每一个 t 都对应一个满足要求的正整数，结论便证到了。

我们还可以证明，存在无穷多个正整数满足，它可以用至少两种不同的方法表示成四个正整数的立方和。可以验证， (t – 8)³ + (t – 1)³ + (t + 1)³ + (t + 8)³ = (t – 7)³ + (t – 4)³ + (t + 4)³ + (t + 7)³ 恒成立，因而当 t > 8 时，每一个 t 都对应一个满足要求的正整数，结论便证到了。

证明：任意一个整数都可以用无穷多种方法表示成五个整数的立方和。

首先，可以验证， 6t = (t + 1)³ + (t – 1)³ + (-t)³ + (-t)³ 。这说明，任何一个 6 的倍数都可以表示成四个立方数之和。

现在，把任意一个整数写成 6k + r 的形式，其中 r 为 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 之一。你会发现，对于任意一个整数 n 来说， 6k + r – (6n + r)³ 都是 6 的倍数。这是因为

6k + r – (6n + r)³ = 6k + r – 216 · n³ – 108 · n² · r – 18 · n · r² – r³

这里面除了 r 和 – r³ 以外，其他所有项都是 6 的倍数。而 r – r³ = – (r – 1) · r · (r + 1) 显然也是 6 的倍数—— r – 1, r, r + 1 相当于三个连续整数，其中至少有一个是 2 的倍数，且必然有一个是 3 的倍数，因而它们的乘积也就是 6 的倍数。

好了，既然 6k + r – (6n + r)³ 总是 6 的倍数，那我们就可以把 6k + r 拆成

(6k + r – (6n + r)³) + (6n + r)³

其中前者可以表示成四个立方数之和，后者本身就是一个立方数。这样，我们就成功地把 6k + r 表示成了五个立方数之和。每取一个不同的 n 都会得到一种不同的表示方法，因而表示方法也就有无穷多种。

证明：对于任意一个整数 k ，我们都有无穷多种方法把它表示成 ± 1² ± 2² ± 3² ± … ± m² 的形式。

显然，我们只需要考虑所有的非负整数 k 即可，因为把所有的符号全都反过来，就能把正数 k 的表达方法转换成负数 k 的表达方法。首先我们来证明，任何 k ≥ 0 都有至少一种表示方法。容易验证：

• 0 = 1² + 2² – 3² + 4² – 5² – 6² + 7²
• 1 = 1²
• 2 = – 1² – 2² – 3² + 4²
• 3 = – 1² + 2²

由于对于任意 m 都有

(m + 1)² – (m + 2)² – (m + 3)² + (m + 4)² = 4

因而对于任何非负整数 k 的任何一种表达方法 ± 1² ± 2² ± 3² ± … ± m² ，我们都有

k + 4 = ± 1² ± 2² ± 3² ± … ± m² + (m + 1)² – (m + 2)² – (m + 3)² + (m + 4)²

这意味着，只要 k 有表达方法， k + 4 就有表达方法。既然 k = 0, 1, 2, 3 时都有表达方法，那么对于一切的非负整数 k ，表达方法也都存在了。

因此，我们也就证明了，对于任意一切整数 k ，表达方法都是存在的。但是，为什么表达方法有无穷多种呢？只需要注意到

(m + 1)² – (m + 2)² – (m + 3)² + (m + 4)² – (m + 5)² + (m + 6)² + (m + 7)² – (m + 8)² = 0

所以我们可以在任何整数 k 的任何一种表达方法后面添加 8 项，然后再添上 8 项，然后再添上 8 项……从而得到无穷多种表达方法。

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