Sierpiński 的初等数论问题

证明：除了 (2, 3) 、 (4, 3) 、 (8, 9) 三种情况以外， 2 的某个乘方和 3 的某个乘方不可能成为两个相邻数。

首先考虑 2^m = 3ⁿ + 1 的情况。容易看出，随着 n 的增加， 3ⁿ 除以 8 的余数是按照 1, 3, 1, 3, 1, 3, … 的规律循环的。因而 3ⁿ + 1 除以 8 的余数是按照 2, 4, 2, 4, 2, 4, … 的规律循环的。这说明，不管正整数 n 为多少， 3ⁿ + 1 都不可能被 8 整除。如果 2^m = 3ⁿ + 1 ，则 2^m 也不能被 8 整除，这说明 m ≤ 2 。检验可知 (m, n) = (2, 1) 是唯一可能的情况。

接下来考虑 2^m = 3ⁿ – 1 的情况。借助之前讨论的结果可以看出， 3ⁿ – 1 除以 8 的余数是按照 0, 2, 0, 2, 0, 2, … 的规律循环的，因而当 n 是奇数时， 3ⁿ – 1 不能被 8 整除。如果 2^m = 3ⁿ – 1 ，则 2^m 也不能被 8 整除，这说明 m ≤ 2 。检验可知 (m, n) = (1, 1) 是唯一可能的情况。那么，如果 n 是偶数呢？刚才的方法就不管用了。不过，我们还有别的招。不妨假设 n = 2k ，于是 2^m = 3ⁿ – 1 = 3^2k – 1 = (3^k – 1)(3^k + 1) ，这说明 3^k – 1 和 3^k + 1 都只含因数 2 ，或者说 3^k – 1 和 3^k + 1 都是 2 的整数次幂。这只有一种可能： 3^k – 1 = 2 ， 3^k + 1 = 4 。据此，我们得到了该问题的最后一组解： (m, n) = (3, 2) 。

证明：在任意三个大于 7 的连续正整数之中，一定有至少一个数，它包含至少两种不同的质因数。

首先，任何一个形如 6k 的数都必然包含至少两种不同的质因数。其次，当 k > 1 时， 6k + 2 和 6k + 3 不可能都只包含一种质因数。这是因为， 6k + 2 是 2 的倍数，如果它只包含一种质因数，则必是 2 的某个乘方； 6k + 3 是 3 的倍数，如果它只包含一种质因数，则必是 3 的某个乘方；但根据上题的结论，除去少数数值很小的情况以外， 2 的某个乘方和 3 的某个乘方都不可能成为两个相邻整数。类似地，当 k ≥ 1 时， 6k + 3 和 6k + 4 也不可能都只包含一种质因数。这是因为，前者必然是 3 的某个乘方，后者必然是 2 的某个乘方，但根据上题的结论，这是不可能的。

然而，在任意三个大于 7 的连续正整数当中，要么包含形如 6k 的数，要么包含形如 6k + 2 和 6k + 3 的两个相邻数（其中 k > 1 ），要么包含形如 6k + 3 和 6k + 4 的两个相邻数（其中 k ≥ 1 ）。所以，这里面至少有一个数，它包含至少两种不同的质因数。

证明：存在无穷多对不同的正整数 (m, n) ，使得 m 和 n 拥有完全相同的质因数（仅每个质因数的次数可能有所不同），并且 m + 1 和 n + 1 也拥有完全相同的质因数（仅每个质因数的次数可能有所不同）。

对于任意大于 1 的正整数 k ， (m, n) = (2^k – 2, 2^k(2^k – 2)) 显然都满足要求。 m 和 n 分解质因数之后的唯一差异就是， n 比 m 多了一堆 2 ，而 2 本来就是两者都已经有了的质因数。另外， m + 1 = 2^k – 1 ， n + 1 = 2^k(2^k – 2) + 1 = (2^k – 1)² ，两者显然也拥有完全相同的质因数。

Paul Erdős 曾问，是否还有别的满足要求的 (m, n) 。答案是肯定的，例如 (75, 1215) 满足要求。 75 = 3 × 5² ， 1215 = 3⁵ × 5 ； 76 = 2² × 19 ， 1216 = 2⁶ × 19 。

找出所有的正整数组 (x, y, z) ，使得分数 x / y 、 y / z 、 z / x 都是最简分数，并且它们的和是一个正整数。

假设 x / y + y / z + z / x = m ，其中 m 是一个正整数。等式可以变为 x²z + y²x + z²y = mxyz 。等号左边的后面两项都是 y 的倍数，等号右边的结果也是 y 的倍数，这说明等号左边的第一项也必然是 y 的倍数。也就是说， x²z 是 y 的倍数。类似地， y²x 是 z 的倍数， z²y 是 x 的倍数。但是，分数 x / y 、 y / z 、 z / x 都是最简分数，这说明 x 、 y 、 z 两两互质，因而 x²z 和 y 是互质的， y²x 和 z 是互质的， z²y 和 x 是互质的。由此可知 y = 1, z = 1, x = 1 ，因而 1 / 1 + 1 / 1 + 1 / 1 = 3 是这个问题的唯一解。

证明： x / y + y / z + z / x = 1 和 x / y + y / z + z / x = 2 都没有正整数解。

第一个问题很简单。 x / y 、 y / z 和 z / x 的乘积为 1 ，说明三者必有一个大于等于 1 ，因而 x / y + y / z + z / x > 1 。第二个问题则稍微复杂一些。由于任意三个正数的算术平均数一定大于等于它们的几何平均数，因而 (x / y + y / z + z / x) / 3 ≥ ((x / y) · (y / z) · (z / x))^1/3 = 1 ，这说明 x / y + y / z + z / x ≥ 3 。

容易看出， x / y + y / z + z / x = 3 是有正整数解的，例如 x = y = z = 1 。 x / y + y / z + z / x = 5 的其中一组正整数解为 x = 1, y = 2, z = 4 。 x / y + y / z + z / x = 6 的其中一组正整数解为 x = 2, y = 12, z = 9 。如果所涉及的数更大一些，找出相应的解就不太容易了。 Woody Dudley 发现 x / y + y / z + z / x = 41 是有正整数解的，其中一组正整数解为 x = 350, y = 196, z = 5 。究竟对于哪些正整数 n ，方程 x / y + y / z + z / x = n 有正整数解，这是一个非常困难的问题。

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