实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

大家或许会敏锐地发现，这里面漏掉了好多数。例如说， 1/3 到哪里去了？既然外星系统是一个有序域，它里面包含有理数域，那应该有 1/3 呀？为了得出 1/3 的表达式，我们何不把 3 = {2 | } 代入到之前给出的 x^-1 的公式里去。由于 {2 | } 的左集合只有一个 2 ，右集合是空的，因此代入后的式子并不复杂：

L = { 0 } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ L(x^-1) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ R(x^-1)} = { 0 } ∪ { (1 + (2 – 3) · v) / 2 | v ∈ R(1/3)}
R = { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ L(x^-1) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ R(x^-1)} = { (1 + (2 – 3) · v) / 2 | v ∈ L(1/3) }

等等，这不对呀？怎么 1/3 的表达式里面还有 1/3 呢？其实，第一次介绍 x^-1 的公式时，我们有意没提这件诡异的事情，也不知道大家是否已经注意到了。实际上，这个公式的含义是需要另作说明的。它并不是什么循环定义，而是让我们从 {0 | } 开始，根据规则不断地迭代下去。刚开始 L 里只有 0 ，而 R 里什么都没有。把 L 中的这个 0 代入 R 中的 (1 + (2 – 3) · v) / 2 ，于是得到 1/2 ，它便成了 R 里的成员；再把 R 中的 1/2 代入 L 中的 (1 + (2 – 3) · v) / 2 ，于是得到了 1/4 ，它便成了 L 里的新成员；再把 L 中的 1/4 代入 R 中的 (1 + (2 – 3) · v) / 2 ，于是得到了 3/8 ，它便成了 R 里的新成员……你会很快意识到，这样迭代下去是没个完的。因而，最后得到的结果当中，左右集合里都有无穷多个项。如果非要把它写出来，那大致就是 {0, 1/4, 5/16, 21/64, … | 1/2, 3/8, 11/32, 43/128, …} 。当然，这只是 1/3 的其中一种表示方法罢了，不过大家可以立即看到其原理，本质上就是把已有的小于 1/3 但越来越接近 1/3 的数放在左边，把已有的大于 1/3 但越来越接近 1/3 的数放在右边，就像 Dedekind 分割那样。根据刚才提到的结论，如此得来的数将夹在左集合的最大数和右集合的最小数之间，它就只能是 1/3 了。注意，左集合和右集合内含有无穷多个元素，这是允许的，而且也是必须允许的，不然这将使系统不符合封闭性条件。假如左集合最多只允许有 p 个数，那么 {0, 1, 2, …, p – 1 | } 加上 {0 | 1} 后，得数的左集合将超过 p 个数，从而打破了封闭性。

允许集合里有无穷个数，这不得了。我们可以用同样的方法产生包括无理数在内的所有实数。可以证明这些实数的行为与我们通常所说的实数也是一致的。因此，实数域也是外星系统的一个子有序域。同时，我们还能构造出一系列更匪夷所思的数。例如， {0, 1, 2, 3, … | } 等于多少？根据公理 1 ，这是一个合法的数。根据刚才的结论，它的数值大于左集合里的所有数。因此， {0, 1, 2, 3, … | } 将会是实实在在等于无穷大的一个数！何不把它记作 ω 。故事远没到此结束。 ω 只是第一个比所有数都更大的数。你可以利用 ω 构造出 {ω | } 。它等于多少呢？你会发现，它等于 ω + 1 。你可以根据加法的定义写出 ω + 1 的结果，并检验它和 {ω | } 互相之间的 ≤ 关系，从而证实 {ω | } 和 ω + 1 的确是同一个数。类似地， {ω, ω + 1 | } 将会是 ω + 2 ， {ω, ω + 1, ω + 2 | } 将会是 ω + 3 。等到 ω + 4 、 ω + 5 也都有了之后，接下来或许该考虑的就是 {ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, … | } 了，它应该等于 ω + ω ，也就是 ω · 2 ！类似地， {ω · 2 | } 就是 ω · 2 + 1 ， {ω · 2, ω · 2 + 1 | } 就是 ω · 2 + 2 ，而 {ω · 2, ω · 2 + 1 , ω · 2 + 2, … | } 就是 ω · 3 了。等到 ω · 4 、 ω · 5 也都有了之后，接下来或许该考虑的就是 {ω, ω · 2, ω · 3, … | } 了，它应该等于 ω · ω ，也就是 ω² ！你何不想象一下 ω³ 、 ω⁴ 的构造过程，等你想好了之后，我们便有了 {ω, ω², ω³, … | } ，它就是 ω^ω ！

熟悉序数理论的朋友可能知道，这里的 ω 借用自第一个极限序数符号。但是，和序数里的 ω 不一样，这里的 ω 是一个实实在在的数。在序数理论中， 1 + ω 和 ω + 1 是不同的， ω · 2 和 2 · ω 也是不同的；但在这里，我们有 1 + ω = ω + 1 ，并且 ω · 2 = 2 · ω 。因为，这里的 ω 是一个实实在在的数，它仍然满足加法交换律、乘法交换律等一切有序域应该具有的性质。

更奇怪的则是 {0, 1, 2, 3, … | ω} ，它将等于 ω – 1 ；而 {0, 1, 2, 3, … | ω, ω – 1} 则等于 ω – 2 。那么， {0, 1, 2, 3, … | ω, ω – 1, ω – 2, … } 呢？它将等于 ω/2 。而 {0, 1, 2, 3, … | ω, ω/2, ω/4, ω/8, … } 将会带来 √ω 。当然，从另一个方向上看，我们还有 { | 0, -1, -2, … } ，它显然应该等于 -ω 。别忘了，作为一个有序域，每个数不但都有自己的相反数，还有自己的倒数。 {0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, …} 将等于 1/ω ，直观地说也就是无穷小量。 {0 | 1/ω} 则等于 1/(ω · 2) ，而 {1/ω | 1, 1/2, 1/4, 1/8, … } 则等于 2/ω 。我们刚才创造的所有数都是合法的，它们确实都是一个个的数，它们依旧能比较大小，依旧能参与运算。不过，它们明显超出了实数的范围。看来，一个有序域完全有可能比实数域更大。

所以说，Knuth 才把这个外星系统叫做“超实数”。可以证明，由超实数构成的有序域是最大的有序域，其他所有可能的有序域，都只是超实数域里的一个子有序域。

我们把石板上描述的数学对象解读为了我们熟知的数字（以及我们不熟知的数字），因为两者具有相同的代数结构。但实际上，别忘了，这些数学对象其实可以被我们解读成任何东西，可能是对我们有用的，可能是对我们没用的。

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