实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

我们对三元组 (x, y, z) 施加归纳。假设传递性对于更早产生的三元组都是成立的。根据定义，如果 x ≤ y ，那么对于 x 的左集合中的任意一个元素 x^L 来说， y ≤ x^L 都不成立。这立即表明， z ≤ x^L 是绝对不可能发生的，因为我们已经有了 y ≤ z ，如果还有 z ≤ x^L 的话，根据归纳假设，就会有 y ≤ x^L ，矛盾。于是我们知道了， x 的左集合里不存在大于等于 z 的元素。用类似的方法可以推出，不可能出现 z^R ≤ x 的情况，其中 z^R 是 z 的右集合中的任意一个元素。理由和刚才相仿：如果 x ≤ y 和 z^R ≤ x 同时成立，由归纳假设就会得到 z^R ≤ y ，这与 y ≤ z 相矛盾。于是我们知道了， z 的右集合里不可能出现小于等于 x 的数。综合上述两条便有 x ≤ z 。

由于超实数所具有的递归本质，在研究超实数的性质时，最基本的方法就是数学归纳法。为了证明某个结论对任意一个数 x 都成立，我们通常会假设这个结论对所有可能的 x^L 和 x^R 都已经成立了；类似地，为了证明某个结论对任意一个二元组 (x, y) 都成立，我们通常会假设这个结论对所有可能的 (x^L, y) 、 (x^R, y) 、 (x, y^L) 、 (x, y^R) 都已经成立了。让我们来做几个练习吧。首先，让我们试着用数学归纳法来证明，对于任意一个数 x 都有：

1. x ≰ x^L ，其中 x^L 是 x 的左集合中的任意一个元素
2. x ≱ x^R ，其中 x^R 是 x 的右集合中的任意一个元素
3. x ≤ x

证明过程并不复杂。假设这几条性质对于更早产生的数都成立。为了证明对于任意 x^L 都有 x ≰ x^L ，我们只需要说明，在 x 的左集合中存在一个大于等于这个 x^L 的数即可。这样的数是显然存在的，因为由归纳假设， x^L ≤ x^L 或者说 x^L ≥ x^L 始终成立。证明对于任意 x^R 都有 x ≱ x^R 的方法也是类似的。好了，既然 x^L 都不大于等于 x ，并且 x^R 都不小于等于 x ，就说明 x ≤ x 了。我们何不把这三个结论分别叫做补充性质 1 、补充性质 2 和补充性质 3 。我们今后会反复用到这三个补充性质。

有人或许会说：x ≰ x^L，岂不意味着 x ≥ x^L 吗？为什么要说得那么麻烦呢？别急，别急，我们目前还不知道 x ≰ y 能否推出 x ≥ y 呢。不过，不管怎么说， x ≥ x^L 还真是成立的。我们可以证明这一点，基本思路仍然是数学归纳法。为了证明对于任意 x^L 都有 x ≥ x^L ，我们只需要说明，这个 x^L 的左集合里不存在大于等于 x 的数，并且 x 的右集合里不存在小于等于这个 x^L 的数。根据公理 1 的规定，后者显然是成立的。前者的正确性则不太容易看出来：根据归纳假设，这个 x^L 大于等于它的左集合里的所有元素，如果这个 x^L 的左集合里存在大于等于 x 的数，由传递性便可推出 x^L ≥ x ，与刚才的补充性质 1 矛盾。类似地，补充性质 2 也有一个推论，即对于任意 x^R 都有 x ≤ x^R 。证明方法几乎完全相同： x ≤ x^R 的意思就是 x 的左集合里不存在大于等于 x^R 的数，并且 x^R 的右集合里不存在小于等于 x 的数，两者可以分别由公理 1 和归纳假设推出。

补充性质 1 和补充性质 2 拥有这样的推论，这使我们开始猜测：会不会在任何情况下，由 x ≰ y 都能推出 x ≥ y 呢？的确是这样，而且证明过程很简单。 x ≰ y 意味着某个 x^L 大于等于 y ，或者某个 y^R 小于等于 x 。如果有某个 x^L 大于等于 y ，但刚才我们证明了 x 大于等于一切 x^L ，两者结合便有了 x ≥ y ；如果有某个 y^R 小于等于 x ，但刚才我们证明了 y 小于等于一切 y^R ，两者结合也能推出 x ≥ y 。所以，不管是哪种情况， x ≥ y 都是成立的。

或许有人会无比兴奋地说：这个结论太有用了，之前很多别扭的说法这下都能大大简化了。例如，公理 1 原本说的是，一个数是合法的，当且仅当它的左集合里的每一个数都不大于等于右集合里的每一个数。现在，我们是不是就能把它重新叙述为，一个数是合法的，当且仅当它的左集合里的每一个数都小于等于右集合里的每一个数？且慢！我们目前只知道 x ≰ y 可以推出 x ≥ y ，但并不知道 x ≥ y 能否反过来推出 x ≰ y ，因而也就不知道 x ≰ y 和 x ≥ y 是否是完全等价的说法。对已有的数进行试验，你会觉得 x ≥ y 似乎真的能够推出 x ≰ y 。之前我们验证过 β ≤ α 、 α ≤ γ 和 β ≤ γ ，你会心安地发现，它们反过来真的都不成立。

x 小于等于 y 当且仅当 x 的左集合里不存在大于等于 y 的数，并且 y 的右集合里不存在小于等于 x 的数
α = { | } ， β = { | α} ⇒ α 不小于等于 β ，或者说 β 不大于等于 α
γ = {α | } ， α = { | } ⇒ γ 不小于等于 α ，或者说 α 不大于等于 γ
γ = {α | } ， β = { | α} ⇒ γ 不小于等于 β ，或者说 β 不大于等于 γ

但是，如果再多生成一些数，问题就出来了。考虑这个数 {β | γ} ，由于 β 确实不大于等于 γ ，因此这个数是合法的。把这个数叫做 δ 。现在，考虑 δ 和 α 的大小关系：

x 小于等于 y 当且仅当 x 的左集合里不存在大于等于 y 的数，并且 y 的右集合里不存在小于等于 x 的数
α = { | } ， δ = {β | γ} ⇒ α 小于等于 δ ，或者说 δ 大于等于 α
δ = {β | γ} ， α = { | } ⇒ δ 小于等于 α ，或者说 α 大于等于 δ

结果， α ≤ δ 和 α ≥ δ 同时成立。这说明，虽然 x ≰ y 可以推出 x ≥ y ，但是 x ≥ y 不能推出 x ≰ y ，两者并不是等价的。换言之， x ≤ y 和 y ≤ x 不可能都不成立，但却有可能同时成立。

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