实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

图 1 和图 2 的棋局实质上是相同的：左右集合都是空集。它们都应该表示成 { | } 。图 3 所示的棋盘需要引起额外的注意：“不能走”和“可以走到空棋盘状态”是两个完全不同的概念。因此，图 3 的棋盘应该被表示为

= { | 空棋盘 }

类似地，

= { 空棋盘 | }

图 5 的 L 形棋盘则可以表示为

= { , + | }

下面我们来看看，在这种棋局表示法下，如何形式化地定义棋局的加法、棋局的反棋局以及棋局的优劣。

如果棋局 A 和棋局 B 同时进行，那么左玩家走一步后可以得到的局面，有可能是在棋局 A 当中走一步（同时棋局 B 保持不动）所得，也可能是在棋局 B 当中走一步（同时棋局 A 保持不动）所得；类似的，右玩家能走出的局面，则是由棋局 A 的所有右集合元素都加上棋局 B ，以及棋局 B 的所有右集合元素都加上棋局 A 构成的。如果把棋局 A 的左右集合分别记作 L(A) 和 R(A) ，把棋局 B 的左右集合分别记作 L(B) 和 R(B) ，那么 A + B 的左右集合就应该分别是：

L = { u + B | u ∈ L(A) } ∪ { A + v | v ∈ L(B) }
R = { u + B | u ∈ R(A) } ∪ { A + v | v ∈ R(B) }

左玩家在 -A 中的合法移动，也就是 A 的右集合中的元素；右玩家在 -A 中的合法移动，也就是 A 的左集合中的元素。别忘了，移动完之后，双方的决策继续保持反着的状态。如果棋局 A 的左右集合分别记作 L(A) 和 R(A) ，那么 A 的反棋局的左右集合就应该是：

L = { -u | u ∈ R(A) }
R = { -u | u ∈ L(A) }

最后，我们给出“劣于或平于”的形式化描述。如果棋局 A 劣于或者平于棋局 B ，这意味着 A + (-B) 有两种可能：右玩家必胜，或者谁后走谁必胜。总之，左玩家先走是绝不可能有必胜策略的。反过来，如果左玩家先走真的没有必胜策略（从而右玩家后走将必胜），这正好对应着那两种情况：如果此时再已知右玩家先走也没有必胜策略，那就是谁后走谁必胜；如果此时右玩家先走将必胜，那就属于右玩家必胜的情况。因此， A + (-B) 是右玩家必胜或者谁后走谁必胜的，当且仅当左玩家先走没有必胜策略。这等于是说，左玩家不会在 A + (-B) 上走出一种谁后走谁必胜或者左玩家必胜的局面。如果左玩家在 A 上面走一步，结果一定不会优于或平于 B ；同时， A 也一定不会优于或平于左玩家在 -B 上任意走一步（相当于右玩家在 B 上走一步）的结果。换句话说 A 的左集合中的元素不会优于或平于 B，同时 B 的右集合中的元素不会劣于或者平于 A 。至此为止，大家已经发现，棋局的加法运算，棋局的反棋局运算，以及棋局之间的“劣于或平于”关系，完全等同于超实数的公理和定义！为了保证所有的棋局都是超实数，我们强行规定，所有棋局也都必须满足超实数本身的构造限制，即左集合中没有元素优于或平于右集合中的某个元素。换句话说，对于左玩家来说，左玩家走了一步后所得的棋局，局势一定比右玩家走了一步后所得的棋局更险恶。更直观地说，我们这里考虑的都是先走比后走更不利、每多走一步就更接近死亡的游戏。

为了让棋局完全符合超实数，安全地继承所有超实数中的结论，我们可以生硬地、脱离实际意义地定义棋局的乘法：

L = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(A), v ∈ L(B) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(A), v ∈ R(B) }
R = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(A), v ∈ R(B) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(A), v ∈ L(B) }

这样便能把谁是 1 确定下来。现在，超实数的所有公理和定义，都能用来描述棋局的世界了。于是，超实数的一切定理一切性质，包括小于等于的传递性，加法乘法的交换率，乃至整个系统是一个有序域，也都将适用于棋局。事实上，棋局和超实数将会变得同构，它们之间存在最为深入的对应关系。每一个棋局都将对应一个数，棋局之间的加法就是数与数之间的加法，我们完全不必担心棋局的运算结果不符合数的运算结果。和超实数一样，更准确地说，应该是每一个棋局类都将对应一个数，棋局类之间的加法就是数与数之间的加法。不过，和之前讲超实数时一样，为了简便起见，接下来我们都省去“类”字。

空棋盘 ＝ { | } ，也就是 0 ，我们的中立棋局。根据我们之前的结论，左玩家必胜的棋局都将优于中立棋局，从而对应一个大于 0 的数；右玩家必胜的棋局都将劣于中立棋局，从而对应一个小于 0 的数。因此，看看棋局所对的数是正是负，就能判断棋局究竟对谁有利。举例来说：

= { | 空棋盘 } = { | 0} = -1

这个值比 0 小，说明该棋局中右玩家必胜。而

= { | } = {0 | } = 1

这个值比 0 大，说明该棋局中左玩家必胜。 L 形棋盘

= { , + | } = {-1, 0 + 0 | 1} = {-1, 0 | 1} = 1/2

说明它也是对于左玩家来说必胜的。注意到 I 形棋盘的值大于 L 形棋盘，这说明 I 形棋盘优于 L 形棋盘，是一个左玩家能赢得更痛快的棋局。一个直观意义就是，在 I 形棋盘中，左玩家能以一步领先的优势获胜，这个步数优势比 L 形棋盘更大。在 L 形棋盘上，左玩家只能以半步的优势险胜。注意 1/2 + 1/2 + (-1) = 0 ，而

真的就是一个中立棋局！

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