实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

（二）熟悉而又陌生的算术

为了说明棋局就是算术，我们首先要定义，什么是算术。我们需要站在系统之外，对算术的本质做一个描述。算术，就是对一些数做加减乘除的运算。这似乎对我们完全没有帮助——什么是数，什么是加减乘除？其实，数，就是一些具有大小关系的元素，这些元素可以按照它们的大小关系串成一根链条。这意味着，首先，任意两个数都是可以比较大小的，并且对于两个不同的数 x 和 y 来说， x 要么大于 y ，要么小于 y 。然后，大小关系必须具有传递性，如果 x 小于 y ， y 又小于 z ，那么 x 一定小于 z 。形式化地说，我们要求元素之间存在某种暂且记作 ≤ 的关系，使得它们满足：

1. 完全性：对于任意的 x 和 y ，x ≤ y 和 y ≤ x 当中至少有一个成立。
2. 反对称性：对于任意的 x 和 y ，如果 x ≤ y 和 y ≤ x 同时成立，那么 x 和 y 一定是同一个元素。（今后我们用符号 x = y 表示 x 和 y 是同一个元素，注意这个新符号和 ≤ 的区别：前者是一个真实的符号，它用来表达“是同一个元素”这个概念；后者则是我们假想的一种抽象符号，它不见得有什么具体的意义。）
3. 传递性：对于任意的 x 、 y 和 z ，如果 x ≤ y 和 y ≤ z 同时成立，那么一定有 x ≤ z。

这样的话，所有的元素都被 ≤ 穿成了一条绳子。我们就说，这些元素构成了一个“全序关系”。

我们还需要元素之间的“加法”和“乘法”满足一系列的性质：

4. 对加法封闭：对于任意的 x 和 y ， x + y 也仍然是某一个元素
5. 对乘法封闭：对于任意的 x 和 y ， x · y 也仍然是某一个元素
6. 加法交换律：对于任意的 x 和 y ， x + y = y + x
7. 乘法交换律：对于任意的 x 和 y ， x · y = y · x
8. 加法结合律：对于任意的 x 、 y 和 z ， (x + y) + z = x + (y + z)
9. 乘法结合律：对于任意的 x 、 y 和 z ， (x · y) · z = x · (y · z)
10. 乘法对加法的分配律：对于任意的 x 、 y 和 z ， x · (y + z) = x · y + x · z
11. 存在加法单位：存在某一个特殊的元素，通常记作 0 ，使得对于任意的 x ，都有 x + 0 = x
12. 存在乘法单位：存在某一个特殊的元素，通常记作 1 ，使得对于任意的 x ，都有 x · 1 = x
13. 存在加法逆元：对于任意的 x ，总能找到某一个特殊的元素，通常记作 -x ，使得 x + (-x) = 0
14. 存在乘法逆元：对于任意不为 0 的 x ，总能找到某一个特殊的元素，通常记作 x^-1 ，使得 x · x^-1 = 1
15. 对于任意的 x 、 y 和 z ，如果 x ≤ y ，那么一定有 x + z ≤ y + z
16. 对于任意的 x 、 y ，如果 0 ≤ x 和 0 ≤ y 同时成立，那么一定有 0 ≤ x · y

有几点需要注意。我们虽然只说了加法单位满足 x + 0 等于 x ，但其实由于加法交换律， 0 + x 也等于 x 。乘法单位也是如此。我们说“存在加法单位”，而没说“存在唯一的加法单位”，这是因为加法单位最多只能有一个，如果存在，必定唯一。假如 a 和 b 是两个加法单位的话，你会发现因为 a 是加法单位，所以 a + b 等于 b ，又因为 b 是加法单位，所以 a + b 等于 a ，因而 a = b 。我们说“存在加法逆元”，而没说“存在唯一的加法逆元”，也是因为同一个元素的加法逆元最多只能有一个，如果存在，必定唯一。假设 a 有两个加法逆元 b 和 c ，那么就有 b = b + 0 = b + (a + c) = (b + a) + c = 0 + c = c ，因此 b 其实就是 c 。乘法单位和乘法逆元也是如此。

这基本上刻画出了作为一个算术系统所有需要满足的性质。第 4 条和第 5 条告诉了我们，加法和乘法并没有那么玄妙，它们不过是从元素对到元素的映射。第 6 条到第 10 条列举了加法和乘法的基本性质。第 11 条和第 12 条定义了 0 和 1 这两个特殊的数。第 13 条中出现了“加法逆元”一词，不过“相反数”一词或许会更亲切一些。第 14 条中出现了“乘法逆元”一词，不过“倒数”一词或许也会更亲切一些。第 13 条和第 14 条实际上定义了减法和除法。减去 x ，就相当于加上 -x ；除以 x ，就相当于乘以 x^-1 。这两条性质保证了，我们可以自由地做减法，我们可以自由地做除法，得到的数也仍然是一个合法的元素，不会出现不够减、不允许减、不够除、不允许除的情况（除以 0 除外）。因为，每一个元素都有相反数，每一个非 0 元素都有倒数。

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