实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

容易看出， α 乘以任意数都还是 α 。再来试试 β 乘以 γ ，它应该是 { | α} · {α | } = { | α · γ + β · α – α · α} = { | α + α – α} = { | α} = β 。事实上，用数学归纳法很容易证明，用任何一个数 x 来乘以 γ ，结果都仍然是 x ：让 x = {a, b | c} 去乘以 γ = {α | } ，将会得到 {a · γ, b · γ | c · γ} ，根据归纳假设它就是 {a, b | c} 。于是， γ 就成为了乘法单位。最后，我们还可以证明，对于任意的 x 、 y 都有，若 α ≤ x 和 α ≤ y ，则 α ≤ x · y 。“乘法逆元” x^-1 的公式则是：

L = { 0 } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ L(x^-1) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ R(x^-1)}
R = { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ L(x), v ∈ L(x^-1) } ∪ { (1 + (u – x) · v) / u | u ∈ R(x), v ∈ R(x^-1)}

其中“ / u ”也是一种简写记号，它表示“乘以 u 的‘乘法逆元'”。可以证明，每个数的“乘法逆元”都是一个合法的数，两者相乘都既小于等于 γ ，又大于等于 γ 。类似地，我们可以把它们全都搬到类上，可以证明，这么做不会产生冲突。这些证明冗长而乏味，我们都略去了。这样一来，外星数学的数类，以及它们之间的小于等于、加法运算、乘法运算，就完全符合有序域的 16 个要求了。外星算术系统就是一个有序域！根据之前提到的结论，我们世界里的有理数运算可以被放进这个外星系统当中， α 所在的类就是那个 0 ， γ 所在的类就是那个 1 。

这种“把类当作元素”的算术结构建立方法并不怪异。其实，我们世界中的有理数域也是用这种方法建立起来的。有理数可以看作是一个一个的整数对。何不用 a 、 b 、 c 、 d 来表示整数，用 0 、 + 、 – 、 · 、 ≤ 来表示整数世界里的零、加法、减法、乘法、小于等于，那么规定 (a, b) 加上 (c, d) 的结果为 (a · d + b · c, b · d) ，规定 (a, b) 乘以 (c, d) 的结果为 (a · c, b · d) ，再规定 (a, b) 小于等于 (c, d) 当且仅当 (0 ≤ b · d ∧ a · d ≤ b · c) ∨ (b · d ≤ 0 ∧ b · c ≤ a · d) ，其中 ∧ 和 ∨ 分别表示“并且”和“或者”。这种定义会带来很多问题，例如两个不同的元素可能互相之间都存在小于等于的关系，例如不是所有元素都有加法逆元，不是所有元素都有乘法逆元。然而，如果我们定义 (a, b) 和 (c, d) 同类当且仅当 a · d – b · c = 0 （这里的 · 、 – 、 = 、 0 也都取它们平常的意义），那么所有元素就会被划分成一个一个的类，这些类以及它们之间的运算就满足有序域的条件了。

由于这个外星有序域是建立在数类之上的，因此严格地讲，我们不能说 α 相当于我们世界中的 0 ，而只能说 α 所在的类相当于我们世界中的 0 。为了叙述简便，我们今后就用上横线来表示“所在的类”， x 意即 x 所在的类。有了这个记号，我们就可以这么说了： α 对应于我们世界中的 0 ， γ 对应于我们世界中的 1 。之前已经说过， β 和 γ 互为加法逆元，看来 β 就应该对应于我们世界中的 -1 了吧。因此， β · β 与 γ 就应该是同一个数类咯？简单验证一下，嘿，还真是！事实上，不但 β · β 与 γ 属于同一个数类，而且它们是同一个数： β · β = { | α} · { | α} = {α · β + β · α – α · α | } = {α + α – α | } = {α | } = γ 。其实，我们完全不必担心算着算着会出现不一致的现象，因为我们已经知道了，外星系统中的加减乘除与我们的数域是相吻合的（至少在有理数的范围内是相吻合的）。因此，接下来，我们就直接使用 0 、 -1 、 1 来代表 α 、 β 、 γ 了。

{1 | } 相当于我们的什么数呢（注意，现在的以及接下来将会出现的所有构造，都是符合公理 1 的）？它相当于我们的 2 ，因为 {1 | } = 1 + 1 。 {0, 1 | } 相当于我们的什么数呢？它也相当于我们的 2 ，因为可以验证， {0, 1 | } 既小于等于 {1 | } ，又大于等于 {1 | } ，两者所在的类是同一个数类。接下来，我们会直接使用 2 来代表 {1 | } 。类似地， {2 | } = 2 + 1 ，因而它所在的类相当于我们的 3 ；可以验证， {1, 2 | } 和 {0, 1, 2 | } 所在的类也都是这个类，它们也都相当于我们的 3 。 { | -1} 则相当于我们的 -2 ，你有很多种不同的方法看出这一点来： { | -1} = (-1) + (-1) ，同时也确实是 2 的相反数。 {0 | 1} 呢？它相当于我们的 1/2 ，可以验证，拿 {0 | 1} 和它自身相加，或者拿 {0 | 1} 乘以 2 ，都将会得到一个既小于等于 1 又大于等于 1 的数。很容易想到， {-1 | 0} 当然也就相当于我们的 -1/2 了。

进一步了解外星有序域之后，为了让接下来的叙述更加简洁，我们将彻底省略“所在的类”的提法，并放宽各种运算符号的用法。其实，在我们的世界里，我们也是这么做的。我们不会说 1/2 所在的类和 2/4 所在的类是同一个数类，而是说 1/2 和 2/4 是同一个数的两种不同的表示方法，并以 1/2 = 2/4 记之。类似地，我们今后也认为， {1 | } 和 {0, 1 | } 是同一个数的两种不同的表示方法，并以 {1 | } = {0, 1 | } 记之。另外，我们世界里的符号和外星世界里的符号之间的界限也将越来越模糊。数字 2 既可以代表我们世界里的数，也可以代表外星世界里对应的数，还可以代表这个数的任何一种特定的表示方法。这样，我们便能方便地给出更多的例子，来揭示两个世界之间的联系：

{0 | 1/2} = {0 | 1/2, 1} = {0 | 1/2, 1, 2} = {-1, 0 | 1/2} = 1/4
{0 | 1/4} = {0 | 1/4, 1/2} = {0 | 1/4, 1} = {-1, 0 | 1/4} = 1/8
{1/2 | 1} = {0, 1/2 | 1} = {1/2 | 1, 2} = {0, 1/2 | 1, 2} = 3/4
{1 | 2} = {0, 1 | 2} = {3/4, 1 | 2, 3} = {0, 1/2, 1 | 2, 3} = 3/2
{1 | 3/2} = {0, 1 | 3/2, 2} = {1/4, 1/2, 1 | 3/2, 2, 3} = 5/4
{0 | 2} = {1/2 | 2} = {3/4 | 3} = {0, 1/2 | 5/4, 3/2, 2} = 1

由之前证明过的补充性质 1 和补充性质 2 可知，用左右集合表达出来的数，其数值一定大于左集合里的最大数，小于右集合里的最小数。事实上，可以证明，这个数值一定就是下图所示的树里所有大小夹在左右集合之间的数中最上层的那一个。图中所示的树只画了前面几层，实际上这棵树会无穷伸展下去。

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