实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

真正有趣的事情出现了。考虑下面的棋局：

○●

它的特征值应该是多少呢？容易看出，它的特征值是一个正数，因为不管谁先走，显然我都能赢。同时，它的特征值也应该比 1 小，因为只有一个 ○ 要比 ○● 赢得更爽一些。事实上，单看 ○● 黑方确实无论如何都会输，但在某些场合下， ○ 后面的这个 ● 能让黑方喘上一口气。例如下面这个棋局：

○●
●

○●
○●
●

如果我先走，本质上不同的走法只有一种，并且局面将会立即变成刚才那种你必胜的情形，因而你将必胜。如果是你先走呢？拿走那个单独成行的 ● 会让你提前锁定败局，更好的选择则是像刚才一样，先拿走某个 ○ 后面的 ● ，为自己多赢得一步。现在，石子只剩下了 ○● 、 ○ 、 ● 这么三行。那么，我应该拿走哪一个 ○ 呢？拿走那个单独成行的 ○ 会让局面再次变回刚才那种你必胜的情形，更好的选择则是拿走后面有 ● 的 ○ ，这样我便能让你损失一步。掌握了这个技巧后，我就能做到必胜了。综上所述，整个棋局是一个谁后走谁就赢定了的局面。于是 ○● + ○● + ● = 0，也就是 ○● + ○● – 1 = 0 ，可以解得 ○● 等于 1/2 。也就是说，在 ○● 中，我将以半步的优势获胜。对应地， ●○ 就等于 -1/2 ，此时你将以半步的优势获胜。

注意，目前并没有任何理论告诉我们，这么加减是合理的。不过我们却发现，这么加减出来的结果真的是对的。例如说， ○● + ○● + ○● + ● = 1/2 + 1/2 + 1/2 – 1 = 1/2，而棋局

○●
○●
○●
●

对于我来说真的就是必胜的局面！

这背后一定有一个更深层次的原因：棋局之间的加减和数与数之间的加减一定存在着某些共通的地方。也就是说，为了解释“为什么棋局的加法和数的加法如此之像”，我们需要证明，两者具有完全相同的代数结构。我们需要建立一个从棋局到实数的映射法则，然后说明全体棋局（或者全体棋局的一部分）与全体实数（或者全体实数的一部分）是同构的。

正如 Poincaré 所说，诗歌的艺术在于给相同的东西取不同的名字，数学的艺术在于给不同的东西取相同的名字。两个看似毫不相关的东西竟然是同构的，这在数学中是最令人激动的事情之一。

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