实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

在我们给出棋局的形式化描述时，我们并没有关心实际的游戏规则。这是一个非常一般的棋局理论，它还可以用到很多其他的游戏中。回到本文最开头最开头的地方。我们当时留下了一个问题。 ○● 真的等于 1/2 吗？我们现在可以很轻易地回答了。如果把白方想成是左玩家，那么 ○● = {空棋盘 | ○} = {0 | 1} = 1/2 。我们之前曾经用 ○● + ○● + ● = 0 的办法推出了 ○● = 1/2 ，这也是完全有道理的。

有了这套理论，我们便能用纯代数的方法对新的棋局进行分析。考虑下面这个问题：对于左玩家来说，棋局 ○● 和 ○●● 相比，哪个的优势更大？为了解决这个问题，我们只需要计算一下 ○●● 的值：

○●● = {空棋盘 | ○, ○●} = {0 | 1, 1/2} = 1/4

而 ○● = 1/2 ，它的优势更大一些。由此可以进一步推出，棋局

○●●
●○

的值为 1/4 + (-1/2) = -1/4 ，即右玩家必胜。而棋局

○●●
○●●
●○

的值则为 1/4 + 1/4 + (-1/2) = 0 ，即这是一个中立棋局，谁后走谁就能必胜。事实上也确实是这样，你可以自己分析一下。

更厉害的是，由于超实数的左右集合都允许有无穷多个元素，因此这里所说的棋局也允许是无限的。例如，我们可以算出 ○●○●○●○●○●… = 2/3 ，而棋局

○●○●○●○●○●…
○●○●○●○●○●…
○●○●○●○●○●…
●
●

真的就是一个中立棋局！

这还没结束。由于超实数的值有可能是无穷大量，因而棋局的值也有可能是无穷大量。 ○○○○○… 显然等于 ω ，而 ○○○○○…○ 则等于 ω + 1 。把这样的行加入任何一个原本有限的棋局里，都会使得左玩家必胜。由于超实数的值有可能是无穷小量，因而棋局的值也有可能是无穷小量。 ○●●●●●… 等于 1/ω ，而 ○●●●●●…● 则等于 1/(ω · 2) 。把这样的行加入任何一个原本有限的并且右玩家必胜的棋局里，都不可能使局面发生逆转；但把这样的行加入任何一个中立棋局里，左玩家就会因为获得一个无穷小的步数优势而必胜。

需要补充的是，并不是所有的棋局都能用数来衡量。让我们回到 Domineering 游戏，看一看下图所示的棋盘：

它既不属于左玩家必胜的情况，又不属于右玩家必胜的情况，当然也不是中立棋局。这是一种全新的情况——谁先走谁就赢。那这个棋盘的值是多少呢？答案是，这个棋盘不对应任何数值，因为它被排除在了我们的考虑范围之外。为了让棋局都是超实数，我们规定了棋局左集合的元素不能优于或平于右集合的元素，这将会漏掉很多棋局。事实上，

= { | } = {0 | 0}

大家可以立即看出，它并不是一个合法的数。在 On Numbers and Games 中， Conway 建议用符号 ∗ 来表示这种特殊的棋局 {0 | 0} 。棋局 ∗ 扮演着很重要的角色，例如不难验证等式 ∗ + ∗ = 0 成立。Conway 用符号 ↑ 表示棋局 {0 | ∗} ，容易看出这是一个左玩家必胜的棋局。可以证明，存在等式 {0 | ↑} = ↑ + ↑ + ∗ 。可见，这个里面的水非常地深，继续挖掘下去还大有文章可作。在书中， Conway 还分析了很多其他的游戏以及其他的棋局运算，感兴趣的朋友何不深入阅读下去。下面这张漂亮的图片来自 Winning Ways for Your Mathematical Plays 一书，直观地展示了各种各样的棋盘及其对应的数。

（五）后记

经常听人问，什么是数学之美？最终发现，还是数学大神 Paul Erdős 的回答犀利：“问什么是数学之美，就像问什么是贝多芬第九交响曲之美一样。”没人能给你讲明白，除非你自己去经历它。

几年前，我就对超实数这一话题特别感兴趣，在看到一个个奇迹般的同构时，感觉全身热血沸腾，沉浸在数学的结构之美当中。最近终于下定决心，写完了整个超实数理论的介绍。这可能是我写过的单篇文章中耗时最久的了，期间我曾经纠结了很多细节问题，一次又一次地被搞晕，一次又一次地陷入哲学思考。我希望能够通过这篇长文，把我这段时间学到的和想到的分享给更多的人，让更多的人理解到数学的乐趣。开篇的博弈游戏出自 ，多米诺游戏的例子出自 On Numbers and Games ，但对棋局的形式化整理来自于自己的思考，这里面可能存在大量不严谨的地方，希望网友们提出。

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