实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

（三）外星人的数学

对算术结构的形式化，让我想起了一些更折磨人的哲学问题：我们的数学体系为什么是这样的？一个文明的数学体系一定是这个样子的吗？比方说，如果人类没有视觉这种感官，我们还会创立几何这门学科吗？同时，人类是否会因为缺乏某种独特的感官，而没能建立起一个更加神奇的数学分支？

同样地，我们总会认为，自然数是最自然的概念，是每一种文明都不可避免会遇到的概念。是这样吗？会不会有某一种外星文明，他们也有一套自己的算术系统，虽然也有加减，虽然也有乘除，虽然跟我们正在使用的算术系统是同构的，但其直观意义和表示方法都跟我们完全不同。或许，在我们这里很难表达的数，在他们那里看来几乎是平凡的；或许，在我们这里很直观很自然的数，在他们的体系里却需要异常复杂的记号来表示。

作为一个科幻迷，我甚至马上想到了，这应该是一个绝佳的科幻素材：数学家发现了地外生命的某种全新的数学系统，并且一步一步尝试去解读它。为此，数学家们必须抛弃任何已有的假设，忘掉什么是自然数，什么是零，什么是加减，什么是乘除，从一片空白开始，尝试理解外星算术系统，逐渐搭建起外星数学的大厦。《你一生的故事》的数学版，多么激动人心的一件事情啊！

这样的小说已经有了。你猜谁写的？ Donald Knuth ！第一次听说这个时，第一反应除了膜拜还是膜拜： Knuth 简直是太牛了，他竟然写过一本小说！这本 100 多页的小说叫做 Surreal Numbers （中译《研究之美》，电子工业出版社 2012 年 1 月出版，顺便吐槽中译名），中文意思大致就是“超现实的数”。我打算直接把它叫做“超实数”——正如“实数”就是“现实的数”一样，“超实数”也就是“超现实的数”了（其实，不得不说的是，“超实数”这个译名有一个很大的弊端：它可能会与另一个叫做 hyperreal numbers 的概念发生混淆）。小说的副标题则是 How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness 。小说讲述了 Alice 和 Bill ，一对年轻男女，逃到一个漂亮的孤岛上“寻找自我”。他们在岛上发现了一块古老的石板，石板上用希伯来语写着一些数学公理。然后，我们将跟随 Alice 和 Bill 的思路，逐渐探索这些公理的意义，期间会走不少的弯路，历经一些失败的尝试，到最后终于成功恢复出了一个完整的算术系统。根据 Wikipedia 的描述，一个全新的数学概念竟然首先出自于一本小说，这是极罕见的例子。

在下面的讨论中，时刻记住：我们在学习外星数学。我们不能有任何先入为主的概念。请忘记“数”的概念，忘记“小于等于”的概念。下面所说的“数”是某种全新的物体，它可能与我们熟知的数有某种对应的关系，也可能与我们熟知的数没有任何关系。“小于等于”也是一种全新的概念，这四个字整个儿是一个新词，它不是由“小于”和“等于”合成的。它的意思有可能和我们的小于等于相吻合，也有可能和我们的小于等于不吻合，甚至有可能根本就没有什么合理的“意思”。“大于等于”只是一个与“小于等于”对称的说法。如果 x 小于等于 y ，我们就说 y 大于等于 x 。偶尔我们会用 ≤ 代替“小于等于”，用 ≥ 代替“大于等于”，不过也请假装这些符号对你来说是完全陌生的。

石板上的公理只有两个。

1. 每个数都是用两个（由已有的数构成的）集合表示的，其中左边集合里不存在这样的数，它大于等于右边集合里的某个数。假如 a 、 b 、 c 、 d 、 e 都是已经构造出来的数，并且从 a 、 b 里任取一个数，从 c 、 d 、 e 里任取一个数，前者都不会大于等于后者，那么把 a 、 b 放入左边的集合，把 c 、 d 、 e 放入右边的集合，我们就能得到一个新的数，例如 f 。我们把它记作 f = {a, b | c, d, e} 。
2. 一个数小于等于另一个数，当且仅当前者的左集合里不存在大于等于后者的数，并且后者的右集合里不存在小于等于前者的数。例如，如果 x = {a, b | c} ， y = {d | e} ，那么 x 小于等于 y ，当且仅当 a 、 b 都不大于等于 y ，并且 e 不小于等于 x 。

可以看出，所有的数，包括它们之间的 ≤ 、 ≥ 关系，都是递归地表达出来的。不过，我们每次都需要用已有的数来定义新的数，那我们从什么地方开始呢？答案是，我们从空集开始。左集合和右集合都为空，记作 { | } ，这是我们能够得到的第一个数。再次提醒，这个数或许能被等价地理解为我们世界中的某个数，或许不能。我们暂时不做这些假设。我们把这个数记作 α 。也就是说， α = { | } 。容易看出， α ≤ α ，因为 α 的左集合里确实没有哪个数大于等于 α ，并且 α 的右集合里确实没有哪个数小于等于 α （事实上 α 的左集合里和右集合里根本就没有数）。既然 α ≤ α ，反过来看，也可以说成是 α ≥ α 了。在接下来的过程中时刻记住， α 既小于等于自己，又大于等于自己。

接下来，我们可以构造两个新的数 { | α} 和 {α | } ，何不把它们俩分别叫做 β 和 γ 。注意， {α | α} 是不合法的，它违反了公理 1 ：左集合里的数不能大于等于右集合里的数。可以验证， β ≤ α ，而 α ≤ γ 。另外， β 也是小于等于 γ 的，不过请注意，这并不是根据“小于等于”的传递性推出的，而是根据“小于等于”的定义直接验证的。我们还不知道“小于等于”满足传递性。事实上，我们还不知道“小于等于”有什么直观意义。

x 小于等于 y 当且仅当 x 的左集合里不存在大于等于 y 的数，并且 y 的右集合里不存在小于等于 x 的数
β = { | α} ， α = { | } ⇒ β 小于等于 α ，或者说 α 大于等于 β
α = { | } ， γ = {α | } ⇒ α 小于等于 γ ， 或者说 γ 大于等于 α
β = { | α} ， γ = {α | } ⇒ β 小于等于 γ ， 或者说 γ 大于等于 β

接下来，我们完全不理会 ≤ 背后有何直观意义，而是纯粹利用刚才的两个公理来证明，刚才看到的传递现象其实并不是巧合。换句话说，在这个神秘的算术系统中，如果 x ≤ y ，并且 y ≤ z ，那么 x ≤ z 。证明的基本方法是数学归纳法。

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