实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

等等，这些性质就能刻画算术系统了？似乎漏掉了不少其他关键的性质吧。例如， 0 乘以任何数都等于 0 ，这条性质哪儿去了？其实，剩下的没有写出的性质，包括 (-1) · x = -x 、 0 ≤ 1 、 0 ≤ x · x 等等，都是已有性质的推论。我们可以从已有性质出发，完全不关心它们的实际意义，抽象地证明出算术系统应该具有的其他性质。例如，为了证明 0 · x = 0 ，只需要注意到：

0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x

两边同时加上 0 · x 的加法逆元，等式仍然成立（这是因为，如果 a = b ，那么加法运算将会把 a + c 和 b + c 映射到同一个数）：

0 · x + (- 0 · x) = (0 · x + 0 · x) + (- 0 · x)
0 = 0 · x + (0 · x + (- 0 · x))
0 = 0 · x + 0
0 = 0 · x

同时满足第 4 条到第 14 条的话，这些元素就构成了一个“域”。如果还满足第 15 条和第 16 条（当然还有第 1 条到第 3 条），这就是一个“有序域”。最小的有序域是有理数域。如果把上面所说的元素想成是全体有理数，把小于等于、加法和乘法解读为我们平常所说的小于等于、加法和乘法，那么整个系统满足上面所有 16 条性质。实数域则是一个更“大”的有序域，而有理数域只是它的其中一个“子有序域”。当然，还有一些有序域，它里面的元素根本不是常规意义上的数，它们之间的大小关系、加法乘法也根本不是常规意义上的大小关系和加法乘法。不过，人们已经证明了，任何一个有序域里一定都包含有一个子有序域，它和有理数域同构——它里面的一切都和有理数一样，只是各个元素的名字不一样罢了。也就是说，在任何一个有序域中，我们都可以从加法单位和乘法单位出发，把全部的或者部分的、本来有可能并不是数的元素看成是一个个的数，得到一个与有理数等价的系统：加法单位就是 0 ，乘法单位就是 1 ，等于 1 + 1 的那个元素就是 2 ， 等于 2 + 1 的那个元素就是 3 ， 2 的加法逆元就是 -2 ， 2 的乘法逆元就是 1/2 ，等等，而且这些元素确实是不同的元素，它们之间的小于等于、加法乘法的运算结果也确实符合有理数之间的运算结果。正因为这样，我们才说，这 16 个有序域条件比较完整地描述了算术系统的要素，足以刻画算术系统了。

这里，我们突然有了一个非常激动人心的问题：一个有序域有没有可能比实数域更大（实数域只和它的某个子有序域同构）？有理数域已经封闭了，但加进去一系列新的元素之后，我们有可能得到一个封闭的、更大的实数域；那么，能否在实数域里面也加进去一些新的元素，让实数域进一步扩张成某个更大的有序域？不不不，答案没有“复数域”那么简单——复数域不是有序域，因为它不是有序的。也就是说，我们无法为所有复数安排 ≤ 关系，使得它能满足有序域的全部条件。在这个比实数域更大的有序域中，我们不但能继续加减乘除，还要能继续做大小比较，每一个新的数和每一个原有的实数之间都有一个确定的大小关系。直观上，这似乎是不大可能的，因为实数已经把那根“线”填满了。

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