实数、超实数和博弈游戏：数学的结构之美

因此，如果 x = {a, b | c} ，那么 -x 就等于 {-c | -a, -b} 。可以证明，一个合法的数的“逆元”一定是满足公理 1 的，换句话说，一个合法的数的“逆元”一定也是合法的数。这里略去证明。容易看出， α 的“逆元”就是它本身。 { | α} 的“逆元”为 {-α | } ，也就是 {α | } ； {α | } 的“逆元”为 { | -α} ，也就是 { | α} 。这表明，我们刚才的 β 和 γ 互为“逆元”。这里，我们给所有的“逆元”一词都加上了引号，因为它并不是真正的逆元，不满足加法逆元的要求。如果这里的“逆元”是真正的逆元，那么 β + γ 应该等于 α ，但实际情况却并不是这样。翻翻前文你会发现，之前我们算过 β + γ ，它等于 {β | γ} ，也就是后来被我们记作 δ 的数。此时，一件非常有趣的事情出现了： β + γ 的结果虽然不等于 α ，但却和 α 之间有一个极其特别的关系——它既小于等于 α ，又大于等于 α 。

事实上，我们可以证明，任何一个数加上它的“逆元”后，都既小于等于 α ，又大于等于 α 。我们先来证明这个结论的前半部分，即 x + (-x) 一定是小于等于 α 的。再次回想一下，一个数小于等于另一个数，当且仅当前者的左集合里不存在大于等于后者的数，并且后者的右集合里不存在小于等于前者的数。反证，如果 x + (-x) 不小于等于 α ，这就意味着， x + (-x) 的左集合里有大于等于 α 的元素，或者 α 的右集合里有小于等于 x + (-x) 的元素。由于 α 的右集合是空的，因此上述两种可能性中，后者显然是不可能的，我们只需要考虑前者即可。根据加法的定义， x + (-x) 的左集合是由所有可能的 x^L + (-x) 和 x + (-x)^L 构成，但很容易看出，它们也都不可能大于等于 α 。以 x = {a, b | c} 为例，根据定义有 -x = {-c | -a, -b} 。把所有可能的 x^L + (-x) 和 x + (-x)^L 都列出来，就是 a + (-x) 、 b + (-x) 、 x + (-c) ，而它们显然都不可能大于等于 α ，因为它们的右集合里都存在小于等于 α 的数—— a + (-x) 的右集合里有一个 a + (-a) ， b + (-x) 的右集合里有一个 b + (-b) ， x + (-c) 的右集合里有一个 c + (-c) ，根据归纳假设，它们都小于等于 α 。这样，我们就证明了 x + (-x) 必然小于等于 α 。同样的方法可以证明 x + (-x) 一定也是大于等于 α 的：否则， x + (-x) 的右集合里将会存在小于等于 α 的元素，即所有可能的 x^R + (-x) 和 x + (-x)^R 当中存在小于等于 α 的数，但这是不可能的，因为这些数的左集合里总会有形如 a + (-a) 、 b + (-b) 、 c + (-c) 的数，根据归纳假设，它们都是大于等于 α 的。

这个算术世界中的数没有真正的加法逆元，只有与之相加之后既小于等于加法单位，又大于等于加法单位的数；同时，回想我们之前曾经说过的，正是这种一个数既能小于等于另一个数，又能大于等于另一个数的特性，才使得这里的“小于等于”与我们现实生活中的小于等于不符。此时，一个神奇的想法突然冒了出来：如果我们把任意两个互相之间都存在 ≤ 关系的数视为同一个元素，上面两个问题不就一并解决了吗？

更具体地说，如果 a 和 b 同时满足 a ≤ b 和 b ≤ a ，我们就说 a 和 b 是同一类数。补充性质 3 告诉我们对于任意一个数 x 都有 x ≤ x ，因而一个数一定和自己同类；由于 ≤ 满足传递性，因而如果 a 和 b 同类， b 和 c 同类，则 a 和 c 也一定同类。于是，这个算术世界里的所有数就被划分成了一个一个不交叉的类。站在类上来看，刚才的一切都和我们现实生活中的算术系统相符了，仅有的两点区别也被消除了：对于任何一个类 A ，都存在另一个类 -A ，使得两者之和等于加法单位类；任何两个不同的类 A 和 B 不但满足 A ≤ B 和 B ≥ A 至少有一个成立，而且还满足，它们不可能同时成立（否则它们就不是不同的类了）。既然这样，我们何不把每一个类当作一个元素，把之前那些运算全都搬到类上，从而得到一个更合我们意的算术系统呢？

呃……我们可以这么做吗？且慢，这里面有个问题：究竟如何把之前那些运算全都搬到类上？这个“搬”字用得太随意了，我们要严谨地刻画一下。当然，我们可以规定，为了得出 A 和 B 两个类的运算结果，只需要从 A 中选一个 a ，从 B 中选一个 b ，看看 a 和 b 的运算结果在哪个类里。但是，你怎么知道，不同的选法一定对应相同的结果呢？

好在，利用小于等于的传递性以及 x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z 的性质，我们可以证明，这种事情是不会发生的。大家可以自己试着证明下面这些事实：如果 a 和 b 是同类的数，那么 -a 和 -b 也是同类的数，a + (-a) 、 b + (-b) 、 a + (-b) 、 (-a) + b 也都是和 α 同类的数；如果 a 和 b 是同类的数，并且 c 和 d 也是同类的数，那么 a ≤ c 就一定意味着 b ≤ d ， a + c 和 b + d 也一定是同类的数。事实上，在任何一个由 ≤ 、 ≥ 、 + 、 – 组成的表达式中，把某些数替换为与之同类的数，表达式都仍然是正确的。也就是说， ≤ 、 ≥ 、 + 、 – 都可以应用在类的级别上，都可以变成类与类之间的运算，不会出现有矛盾、有冲突的情况。这个以类为元素的结构完全符合有序域的定义中所有涉及到小于等于和加法运算的条件，包括之前不成立的小于等于的反对称性和加法逆元的存在性！

为了完成这个有序域的构造，我们只需要定义一个满足有序域条件的乘法就行了。这件事是可以办到的。规定 x 和 y 的乘积 x · y 的左集合 L 和右集合 R 分别是：

L = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(x), v ∈ R(y) }
R = { u · y + x · v – u · v | u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { u · y + x · v – u · v | u ∈ R(x), v ∈ L(y) }

这里，“ – u · v ”是一种简写记号，它表示的是“加上 u · v 的‘加法逆元'”。如果 x = {a, b | c} ， y = {d, e, f | g, h} ，那么 x · y 的左集合就是下表中所有红色区域里的数，右集合就是所有黄色区域里的数。可以证明，这种乘法的定义满足交换律、结合律以及对加法的分配律，这里我们略去证明。

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